Introducción al sistema diédrico

Vamos a dedicar esta entrada a realizar una introducción a las principales características del sistema diédrico de representación. Para ello, nos resultará de utilidad identificar algunas diferencias entre su uso con línea de tierra (LT) y sin línea de tierra (método directo o sistema libre de representación).

Como sabemos, si queremos representar elementos del espacio tridimensional sobre un plano, necesitamos de sistemas que nos permitan trasladarlos al papel. Para ello, los sistemas se valen de la representación de las proyecciones de dichos elementos sobre un plano imaginario. Estas proyecciones contienen la información que necesitamos para interpretar los elementos sin errores (con cualquier objetivo: didáctico, de fabricación industrial, para resolver problemas, etc).

En el siguiente vídeo podemos ver una breve introducción a los sistemas de representación:

En el vídeo (además de cuestiones que nos resultará de utilidad más adelante), hemos podido observar los tres tipos de proyección de los sistemas de representación: Cónica, Cilíndrica Ortogonal y Cilíndrica Oblicua.

¡Pero vamos al asunto de esta entrada! El sistema diédrico.

La primera característica del sistema diédrico, es la condición de perpendicularidad que siempre van a cumplir sus dos planos de proyección, que son:

Plano horizontal de proyección (PH)

Plano vertical de proyección (PV)

Esta perpendicularidad se va a cumplir SIEMPRE en el sistema diédrico, tanto en el que utiliza línea de tierra (LT) como en el método directo. Sin embargo, hay unas diferencias básicas:

1. En el sistema diédrico con LT, el plano de proyección horizontal interseca con el plano de proyección vertical (figura 1), obteniendo como resultados de la intersección: la línea de tierra y los cuatro cuadrantes o diedros. Al abatir el PH (en sentido horario) sobre el PV, obtendremos estos cuatro cuadrantes o diedros representados en un solo plano. De este plano abatido con la línea de tierra como referencia (figura 2), podemos obtener las posiciones absolutas (sistema de coordenadas absolutas) con respecto a los cuatro diedros o cuadrantes. 
   
   
    

   

   Figura 1. El plano de proyección horizontal interseca con el plano de proyección vertical.

    

   

   Figura 2. Plano de proyección abatido con línea de tierra.

    
2. El sistema diédrico directo, utiliza planos de proyección cualesquiera paralelos a un cuadrante o diedro de referencia (primer cuadrante en el caso del Sistema Europeo de Representación Normalizada de Vistas). Es decir, que los planos de proyección no intersecan y por tanto, no se obtiene la línea de tierra. De este método, tampoco se va a obtener la posición absoluta de los elementos con respecto a los cuadrantes, sino que: la posición de los elementos va a ser siempre relativa (sistema de coordenadas relativas) a otros elementos. Por este motivo, en el diédrico directo la planta y el perfil de los objetos se puede situar a cualquier distancia del alzado.
    

   

   Figura 3. Planos de proyección cualesquiera paralelos a un cuadrante o diedro de referencia.

Tanto si usamos línea de tierra como si no, el sistema diédrico se basa en la proyección cilíndrica ortogonal, es decir, que los elementos se proyectan ortogonalmente al plano (figura 4 y figura 5). 

Figura 4. Los elementos se proyectan ortogonalmente al plano.

 

Figura 5. Los elementos se proyectan ortogonalmente al plano (perfil).

Para entender mejor este concepto, vamos a introducir la representación del elemento más básico –no por ello con menos posibilidades de análisis–: el punto, primero con línea de tierra:

Como hemos visto, la nomenclatura y la posición de las proyecciones del punto con respecto a la línea de tierra, nos dará la información que necesitamos para saber en qué cuadrante se encuentra el punto representado y su posición. También podemos determinar un origen O sobre la línea de tierra y representar al punto por coordenadas. Para ello, establecemos el origen O como vértice de un sistema de ejes ortogonales.

De este sistema de ejes ortogonales, obtendremos las coordenadas diédricas (pues los diedros son la referencia), siendo:

x: la distancia del origen a la línea de referencia del punto

y: el alejamiento

z: la cota

Que como hemos visto serán positivas o negativas según la posición de los elementos con respecto al origen.

Sin embargo, a la hora de de representar el punto con el sistema libre, nos encontraremos con la duda de cómo empezar sin ninguna referencia establecida. Pues bien, la representación de un punto A va a ser arbitraria en cuanto a la separación de sus proyecciones (es decir, la línea de referencia). Para determinar su posición, aplicaremos un sistema de coordenadas relativas entre A y B (ver figura 6), siendo:

x: separación de las líneas de referencias

y: diferencia de cotas

z: diferencia de alejamientos

Figura 6. Coordenadas relativas entre A y B. Imagen de

Garbiñe larralde urquijo.

Ambos sistemas nos permiten representar la situación del punto en el PV y el PH. La diferencia principal, es que el sistema libre elimina referentes que no son necesarios (simplifica el proceso) y el estudio de los elementos resulta mucho más conceptual. Por este motivo, conviene tener muy claros algunos conceptos básicos para representar los elementos de una manera correcta (y mucho más ágil).

Entre los conceptos básicos útiles, se encuentran algunos teoremas espaciales que dada la condición de perpendicularidad que siempre van a cumplir las proyecciones, nos resultarán de suma utilidad. El siguiente vídeo nos lo explica y además podemos ver su aplicación directa:

Piziadas, también nos arroja luz sobre los conceptos básicos y añade lo siguiente con respecto al plano formado por las proyecciones de un punto:

"La recta intersección de los dos planos, i, es la dirección común a ambos planos. Los tres planos se cortarán en un punto I.

Si proyectamos ortogonalmente el punto (P) sobre los planos H y V, las rectas (P)-P’ y (P)-P” serán ortogonales a ellos respectivamente.
El plano que contenga a (P)-P’ será ortogonal al plano H y de forma análoga, el plano que contenga a la recta (P)-P” lo será a V. Por lo tanto, si consideramos el plano formado por los puntos (P)–P’–P” y el punto I, este será perpendicular a V y H y por lo tanto a su dirección común, recta i.

Esta última propiedad nos permitirá establecer la relación perspectiva que existe entre dos proyecciones vinculadas."

Para cerrar esta pequeña introducción al sistema diédrico, voy a lanzar algunas conclusiones sobre el uso de ambos métodos.

• Ambos métodos resultan de utilidad. Pero desde mi punto de vista, utilizar la línea de tierra permite una asimilación global de su aplicación mucho más directa y sencilla de entender. Además, si utilizamos diferentes fuentes de información, el uso de la línea de tierra dispone de materiales didácticos mucho más variados.
  
• Pese a ser un método que juega con los mismos conceptos, el diédrico con LT tiene el aspecto negativo de permitir una mecanización de los mismos que en el diédrico directo no es posible. La mecanización del sistema libre, requeriría de más conceptos asimilados de los que requiere el uso de la LT.
  
• El sistema libre, necesita de una base sólida de geometría descriptiva, cuyo aprendizaje, también se haya basado en el razonamiento de los conceptos. Este aspecto, según se enfoque, puede ser positivo o negativo si tenemos en cuenta el estado actual de la enseñanza del dibujo.

Más adelante, cuando el tiempo permita una puesta en materia más focalizada, hablaremos de otras simplificaciones del diédrico directo en comparación con el diédrico con LT.

¡Saludos y ánimo a las compis y los compis del máster en la recta final!

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Fuentes:

Garbiñe larralde urquijo. Diédrico directo. Apuntes de segundo de bachillerato. http://goo.gl/9IEmJC

Piziadas gráficas. http://piziadas.com/

Dibujo técnico 1: Jesús Álvarez, José Luis Casado, María Dolores Gómez. Editorial SM.

Geometría descriptiva: Ricardo Bartolomé Ramírez
 

Canal Profesor de Dibujo (PDD). http://goo.gl/4lWWoY

Canal 8 cifras. https://goo.gl/wBZEv1

¿Cómo invertir un triángulo? II: solución

En la anterior entrada vimos unos conceptos básicos para entender la inversión en el plano, pues conocer las propiedades de la inversión nos ayudará a resolver el problema planteado: 

Dado un triángulo ABB', invertir la figura sabiendo que A es un punto inverso de sí mismo, es decir: A=A'

Como adivinaréis, el punto de partida de este problema, se encuentra relación que guardan las dos parejas de puntos proporcionadas con respecto al centro de inversión y por tanto de la circunferencia de autoinversión o circunferencia de puntos dobles (c.p.d). El concepto de potencia nos ayuda a saber que las dos parejas de puntos invertidos BB' y AA' son puntos concíclicos, es decir, que se encuentran en la misma circunferencia y que guardan una relación constante con el centro de inversión. En otras palabras, cada punto y sus inversos además de encontrarse en la misma circunferencia, están alineados con el centro de inversión.

Por tanto, una aproximación certera a la solución, será deducir que el centro de inversión se encuentra en la recta que pasa por BB'.

Hallar el centro de la circunferencia de puntos dobles requiere que ampliemos nuestros conocimientos de inversión un poco más:

 - La circunferencia que contiene pares de puntos inversos, es inversa de sí misma si la potencia es positiva, es decir, si los puntos inversos se encuentran al mismo lado con respecto al centro de inversión.

- Esta circunferencia inversa de sí misma corta ortogonalmente a la circunferencia de autoinversión, por tanto contiene elementos dobles.

- Cuando la potencia es negativa, no se cumple la ortogonalidad con respecto a la circunferencia de puntos dobles (porque no podemos trazar tangentes desde el centro de inversiópn a la circunferencia inversa de sí misma), es decir: si la potencia es negativa, la circunferencia inversa de sí misma no contiene puntos (o elementos) dobles.

Lo entenderemos mejor si continuamos con nuestro problema.

Al darnos el triángulo como figura para invertir y conocer que A=A', no erraremos al afirmar que la potencia con respecto al centro de inversión (que estamos intentando hallar) es positiva. Es más, sabremos también que la circunferencia que contiene a ambas parejas de puntos inversos es inversa de sí misma al contener un elemento doble y por tanto ortogonal a la circunferencia de puntos dobles (c.p.d). La tangente que pasa por el punto AA' con respecto a la circunferencia que lo contiene nos da el centro de inversión y además la potencia (k). 

Ya tenemos todo lo necesario para invertir la figura. Vamos por partes.

Invertir el segmento BB' será lo más sencillo, pues sabemos que al estar alineado con el centro de inversión, cada punto tiene a su inverso en la propia recta, por tanto:

El inverso de BB' es BB'.

 Para invertir AA'B y AA'B' vamos a añadir otra característica de la inversión en el plano a nuestra lista:

- Al invertir una recta que no pasa por el centro de inversión lo que obtenemos es una circunferencia que sí pasa por el centro de inversión y viceversa (recordemos que la inversión es una transformación involutiva).

Sabiendo esto, simplemente tenemos que hallar los centros de las circunferencias que pasen por: AA', B' e I   y   AA', B e I. Los arcos de cirfunferencia que unan los puntos completarán nuestra solución.

Por último, añadiremos unos conceptos a nuestra lista.

La inversión en el plano:

• Transformación homográfica.
• Tranformación con centro.
•  Circunferencia de autoinversión o circunferencia de puntos dobles (c.p.d).
• Potencia de inversión positiva.

• Relación constante (K) con respecto al centro de inversión. 
• Dos puntos y sus inversos: conclíclicos. 
• Potencia negativa: la circunferencia inversa de sí misma no contiene puntos (o elementos) dobles.
• Circunferencia inversa de sí misma: corta ortogonalmente a la c.p.d.
• La inversión de una recta que no pasa por el centro de inversión es una circunferencia que sí pasa por el centro de inversión(y viceversa).

 ¡Hasta la próxima!

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Fuentes:

Piziadas

Gaussianos

Jose Luis Tabara Carbajo (canal de Youtube)

¿Cómo invertir un triángulo? I

Dado un triángulo ABB', invertir la figura sabiendo que A es un punto inverso de sí mismo, es decir: A=A'

Para resolver este problema vamos a recordar algunas características de la  inversión en el plano.

La inversión es una transformación homográfica, es decir, conserva la naturaleza de los elementos que transforma, por tanto: al invertir un punto lo que obtenemos es otro punto. 

Al transformar un punto y obtener su transformado (o inverso) veremos que siempre se encuentra alineado con el centro de inversión es decir:  la inversión es una tranformación  

con centro.

El centro de inversión es el centro de una circunferencia llamada circunferencia de autoinversión o circunferencia de puntos dobles (c.p.d), esta circunferencia contiene puntos que son inversos de ellos mismos. Este dato nos será de utilidad para resolver este problema ya que: 

- Uno de los vértices del triángulo es A=A', por lo tanto, ya tenemos un dato de cual podemos deducir que A=A' pasa por la circunferencia de autoinversión.

- También nos dan una pareja de puntos inversos: B y B'. 

Para comprender la relación entre las posiciones relativas que guarda esta pareja con respecto al centro de inversión, tenemos que repasar el concepto de potencia.

Os propongo viajar por el mundo de la potencia en Lord and Master, cuyo enlace directo podéis encontrar aquí.

Tras volver del viaje, podéis observar la siguiente imagen, donde vemos lo que ocurre cuando la potencia de inversión es positiva (también puede una potencia de inversión negativa, pero la guardamos para otro momento). El producto de las distancias desde el centro de inversión a los puntos y sus inversos, es constante (√K):

IA*IA' = IB*IB' = K*K = K²

También vemos que los puntos C y C' (inverso de C) coinciden y que la circunferencia de autoinversión o de puntos dobles (c.p.d) pasa por este punto (o pareja de puntos). Esto se debe a que la distancia desde el centro de inversión al punto doble es la raíz de la potencia (√K), que también es el radio de la circunferencia de autoinversión o de puntos dobles (¡de ahí su nombre!).


Si sois observadores y observadoras, veréis que las dos parejas de puntos inversos (AA' y BB') se encuentran en la misma circunferencia, es decir: son conclíclicos. No olvidemos que C y C' es también una pareja de puntos inversos (con una posición relativa coincidente con respecto al centro de inversión), por tanto las tres parejas de puntos son concíclicos. Pero no necesitamos las tres parejas para saberlo y esta es otra propiedad de la inversión: 

Dos puntos y sus inversos son concíclicos.


Podemos resumir esta pequeña introducción en unos conceptos clave:

La inversión en el plano

• Transformación homográfica.
• Tranformación con centro.
•  Circunferencia de autoinversión o circunferencia de puntos dobles (c.p.d).
• Potencia de inversión positiva

• Relación constante (√K) con respecto al centro de inversión. 
• Dos puntos y sus inversos: conclíclicos.

Para profundizar os propongo otro viaje, esta vez por Plano, línea, punto: 

 ¿Qué necesitamos saber si queremos invertir una recta o una circunferencia?

El enlace lo tenéis aquí.


Por último, un pequeño esquema con los datos de nuestro problema, en breve tendréis la solución:

 

¡Ánimo!

* (solución aquí).

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Fuentes:

Piziadas

Lord and master 

Plano, línea, punto